2-数制与码制

卡片 1：位置计数法与基数

问题：$R$ 进制数的基数、数码范围和第 $i$ 位位权分别是什么？如何将任意 $R$ 进制数还原为十进制值？

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• 基数 $R$：可使用的数码个数，因此每一位只能取 $0,1,\dots ,R-1$。
• 从右向左，第 $i$ 位的位权是 $R^i$；满 $R$ 进 1。

若 $(N{)}_R=(\cdots K_i\cdots {)}_R$，则

$$(N{)}_R=\sum _i{K}_i{R}^i,0\le K_i<R$$

这就是“按权展开”：每一位的数码乘该位权，再求和。

关联笔记：数制与码制：数制

卡片 2：十进制整数、小数转换为 $R$ 进制

问题：十进制整数和小数分别如何转换为 $R$ 进制？读数方向为什么相反？

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• 整数部分：反复“除以 $R$、取余数”，余数从后向前读。
  每次余数给出当前最低有效位，所以最后得到的余数应最先读。
• 小数部分：反复“乘以 $R$、取整数”，整数从前向后读。
  每次整数部分给出当前最高的小数位，所以立即顺序写下。

小数部分若无法乘到 0，只能截断取近似值；例如十进制有限小数不一定是二进制有限小数。

关联笔记：数制与码制：数制转换

卡片 3：二、八、十六进制的快速转换

问题：二进制与八进制、十六进制如何快速转换？

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因为

$$8=2^3,16=2^4$$

所以 3 位二进制对应 1 位八进制，4 位二进制对应 1 位十六进制。转换时以小数点为界分组，再查对应数码：

• 整数部分从右向左分组；
• 小数部分从左向右分组；
• 不足一组时，在远离小数点的一端补 0。

例如 $(00111001{)}_2=(39{)}_{16}$。

关联笔记：数制与码制：二、八、十六进制

卡片 4：固定位宽与无符号溢出

问题：$n$ 位无符号数能表示的范围是什么？为什么固定 $n$ 位电路发生溢出等价于模 $2^n$ 运算？

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$n$ 位无符号数的范围为

$$0\le N\le 2^n-1$$

电路只能保存低 $n$ 位，超出的高位被丢弃，因此存储结果为

$$N_{\mathrm{存}}=N_{\mathrm{实际}}\mathrm{mod}{2}^n$$

关联笔记：数制与码制：固定位宽与溢出

卡片 5：原码、反码、补码的核心差别

问题：同一 $n$ 位有符号数在原码、反码、补码中的负数表示、零的个数和最小可表示值有何差异？

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项目	原码	反码	补码
负数	符号位为 1，数值位为绝对值	原码数值位取反	原码数值位取反再加 1
零	正零、负零各一个	正零、负零各一个	只有一个零
最小值	$-(2^{n-1}-1)$	$-(2^{n-1}-1)$	$-2^{n-1}$

补码把减法统一为加法：

$$[X-Y{]}_{\mathrm{补}}=([X{]}_{\mathrm{补}}+[-Y{]}_{\mathrm{补}})\mathrm{mod}{2}^n$$

关联笔记：数制与码制：补码、数制与码制：三种机器码

卡片 6：补码的范围为什么更大一点？

问题：$n$ 位补码的表示范围是什么？为什么它比原码、反码多表示一个负数？

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$n$ 位补码的范围为

$$-2^{n-1}\le X\le 2^{n-1}-1$$

三种编码都有 $2^n$ 种比特模式。原码和反码把其中两种分别表示为 $+0$、$-0$，所以只有 $2^n-1$ 个不同数值：

$$-(2^{n-1}-1)\le X\le 2^{n-1}-1$$

补码只有一个零 $000\cdots 0$；它把原来“负零”占用的模式 $100\cdots 0$ 解释为 $-2^{n-1}$，因此范围向负方向多一个。

关联笔记：数制与码制：补码、数制与码制：三种机器码

卡片 7：同一比特模式的解释

问题：为什么同一串比特必须先说明“位宽和解码方式”？

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比特串本身没有正负含义；它是无符号数、原码、反码还是补码，取决于约定的解码方式和位宽。

例如同一串 ${\mathrm{FFFFFFFF}}_{16}$：

• 按 32 位无符号数 解码，为 $4294967295$；
• 按 32 位补码有符号数 解码，为 $-1$；
• 若位宽改为 16 位，则它只是两个 16 位比特串，不能仍按“一个 32 位数”解释。

关联笔记：数制与码制：位宽

卡片 8：定点数与浮点数的取舍

问题：定点数和浮点数的小数点分别如何处理？在 $X=\pm 2^p\times x$ 中，阶码和尾数各决定什么？

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• 定点数（Fixed Point）：小数点位置固定，且不占存储位；纯整数的小数点隐含在最低位右侧，纯小数的小数点隐含在最高数值位左侧。
• 浮点数（Floating Point）：

$$X=\pm 2^p\times x$$

阶码 $p$ 决定可表示的数值范围，尾数 $x$ 的位数决定有效精度。因此浮点数适合同时覆盖很大、很小数值的场景，但精度受尾数位数限制。

关联笔记：数制与码制：定点数与浮点数

卡片 9：8421 BCD 的表示与加法校正

问题：BCD 与普通二进制整数表示的对象有什么不同？8421 BCD 一位加法何时要加 $0110_2$，为什么？

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BCD（Binary-Coded Decimal） 用 4 位二进制编码一位十进制数字；一个 $n$ 位十进制数占 $4n$ 位。它不是把整个十进制数直接转为普通二进制。

对 8421 BCD，每一位十进制数先按普通二进制相加。只有 $0000\sim 1001$ 表示 $0\sim 9$；结果超过 $1001$，或有进位时，就加 $0110$，并把进位传给高一位。

例如：$0101+0110=1011$，结果非法；加 $0110$ 后为 $10001$，即 $11$ 的 BCD 为 $00010001$。

该规则只适用于 8421 BCD，不能直接套用到 2421 码或余 3 码。

关联笔记：数制与码制：BCD 码

卡片 10：格雷码、字符编码与适用边界

问题：格雷码为什么适合模拟量转换却不适合直接算术？

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格雷码是无权码，相邻代码只改变 1 位，因此在模拟量跨越相邻量化值时，可减少多位同时翻转带来的读数错误；但它没有按位权展开的算术意义，不能直接做算术运算。

关联笔记：数制与码制：格雷码、数制与码制：字符编码