1-复数 Complex Number

复数

• 复数：由有序实数对 $(x,y)$ 确定，记为 $z=x+iy$，其中 $i^2=-1$

• 实部 & 虚部：$\mathrm{Re}(z)=x$，$\mathrm{Im}(z)=y$

• 复数之间没有通常意义下的大小关系

• 复平面：$z=x+iy$ 对应复平面上的点 $(x,y)$，也对应从原点指向该点的向量。横轴为实轴，纵轴为虚轴
  

向量与矩阵形式

$z=x+iy$ 对应二维实向量：$v(z)=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

复数乘法的矩阵表示

乘以 $z=x+iy$，对应线性变换实矩阵 M

$$M(z)=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}& -\mathrm{Im}\\ \mathrm{Im}& \mathrm{Re}\end{array}\right],\mathbf{v}(zw)=M(z)\mathbf{v}(w)$$

$\det M(z)=x^2+y^2=|z{|}^2$，$z\ne 0$ 时变换 $M(z)$ 是可逆变换。

三角形式与指数形式

令 $r=|z|$，$\theta$ 为 $z$ 的一个幅角。由欧拉公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

复数的三角形式与指数形式

$$z=x+iy=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r{e}^{i\theta }$$

$x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$

• 复数的乘法：模相乘，幅角相加；几何上表示缩放和旋转

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复共轭

• 共轭与模：$z\bar{z}=|z{|}^2$
• 共轭与四则运算：

$$\overline{z_1\pm z_2}={\bar{z}}_1\pm {\bar{z}}_2,\overline{z_1{z}_2}={\bar{z}}_1{\bar{z}}_2,\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{{\bar{z}}_1}{{\bar{z}}_2}$$

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复数的模

• 模：$|z|$ 是点 $z$ 到原点的距离；$|z_1-z_2|$ 是两点 $z_1,z_2$ 间的距离。

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2},z\bar{z}=|z{|}^2$$

• $|\mathrm{Re}(z)|\le |z|$，$|\mathrm{Im}(z)|\le |z|$
• $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$，$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$
• 三角不等式：$||z_1|-|z_2||\le |z_1-z_2|\le |z_1|+|z_2|$

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幅角

• 幅角：对 $z\ne 0$，向量 $z$ 与正实轴的有向角 $\theta$。$\mathrm{Arg}z=\{\theta +2k\pi :k\in \mathbb{Z}\}$（注意象限）
• 主幅角：$\arg z\in (-\pi ,\pi ]$

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根运算

对 $z=|z|e^{i\theta }\ne 0$，方程 $w^n=z$（$n\ge 2$）的根为

$$w_k=|z{|}^{1/n}\angle \frac{\theta +2k\pi }{n},k=0,1,\dots ,n-1$$

• 多值*：共有 $n$ 个不同的根。（注意求解n次多项式有n个解）

• 分布：各根的模相同，，落在正 $n$ 边形的顶点上

• 三角恒等式中的应用

  • 三倍角公式
  • 比较 $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3$ 两边的实部得到

$$\cos 3\theta =\mathrm{Re}((1\angle \theta {)}^3)=\mathrm{Re}((\cos \theta +i\sin \theta {)}^3)=4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$$