2-三极管

工作原理

基本结构

晶体三极管：有 NPN、PNP 两种类型。

结构	名称
三个中性区	发射区、基区、集电区
两个 PN 结	发射结（E–B）、集电结（C–B）
三个电极	发射极 E、基极 B、集电极 C

符号箭头：表示发射结正偏时的电流方向，始终由 P 区指向 N 区

内部载流子传输过程

放大模式的偏置

放大模式：发射结正偏，集电结反偏。规定 $V_{BE}=V_B-V_E$、$V_{BC}=V_B-V_C$

类型	发射结正偏	集电结反偏	电位关系
NPN	$V_{BE}>0$	$V_{BC}<0$	$V_C>V_B>V_E$
PNP	$V_{BE}<0$	$V_{BC}>0$	$V_E>V_B>V_C$

特性：正向受控（集电极电流只受正偏发射结电压的控制）

载流子的传输

电流	载流子与运动
$I_{En}$	发射区多子电子扩散，E $\to$ B
$I_{Ep}$	基区多子空穴扩散，B $\to$ E
$I_{Cn1}$	注入基区的非平衡少子电子被集电结收集，B $\to$ C
$I_{Cn2}$	基区原有少子电子漂移，B $\to$ C
$I_{Cp}$	集电区少子空穴漂移，C $\to$ B
$I_{CBO}$	$I_{Cn2}+I_{Cp}$ （集电结的反向饱和电流）

电流关系：

$$I_E=I_C+I_B$$ $$\{\begin{array}{rl}{I}_E& =I_{En}+I_{Ep}\\ I_C& =I_{Cn1}+I_{Cn2}+I_{Cp}=I_{Cn1}+I_{CBO}\\ I_B& =I_{Ep}+\left(I_{En}-I_{Cn1}\right)-I_{CBO}\end{array}$$

正向受控作用：发射结正偏电压控制 $I_{En}$，进而控制 $I_{Cn1}$

寄生电流：$I_{Ep}$、$I_{Cn2}$、$I_{Cp}$ 等不参与正向受控传输（不受电压控制；只能分别产生两个结的电流,不会转化为另一个结的电流）

传输效率与结构特点

共基极电流传输系数：($I_E$ 转换为 $I_{C{n}_1}$ 的能力)

$$\bar{\alpha }=\frac{I_{Cn1}}{I_E}={\eta }_E{\eta }_B$$

$\bar{\alpha }<1$，但接近 $1$。

参数	定义	含义
发射效率 ${\eta }_E$	$I_{En}/I_E$	有用电子电流占 $I_E$ 的比例
基区传输效率 ${\eta }_B$	$I_{Cn1}/I_{En}$	注入电子电流中，被收集的比例

三极管结构特点

为了减小寄生电流，提高 $\bar{\alpha }$ ，保证载流子的传输：

结构特点	作用
发射区掺杂浓度远大于基区	$I_{En}\gg I_{Ep}$，提高 ${\eta }_E$（不对称结）
基区很薄	减少基区复合，提高 ${\eta }_B$
集电结面积大于发射结	有利于完全收集注入的载流子

电流传输方程

可以得到比例关系：
$I_B:I_C:I_E\approx 1:\beta :1+\beta$

三种连接方式

公共端：输入、输出回路共用的电极
集电极不可作为输入；基极不可作为输出
可加输入，输出只取自发射极和集电极

连接方式	公共端	输入端口	输出端口	传输方程
共基极	B	E–B	C–B	$I_C\approx \bar{\alpha }{I}_E$
共发射极	E	B–E	C–E	$I_C\approx \bar{\beta }{I}_B$
共集电极	C	B–C	E–C	$I_E\approx (1+\bar{\beta })I_B$

共基极

输入：E；输出：C

$I_C=I_{cn1}+I_{CBO}=\bar{\alpha }{I}_E+I_{CBO}$，一般二极管的反向饱和电流很小，可简化：

$$I_C=\bar{\alpha }{I}_E+I_{CBO}\approx \bar{\alpha }{I}_E$$

共发射极

输入：B；输出：C

$I_E=I_C+I_B,I_C=\bar{\alpha }{I}_E+I_{CBO}$，得：

$$I_C=\frac{\bar{\alpha }}{1-\bar{\alpha }}{I}_B+\frac{I_{CBO}}{1-\bar{\alpha }}=\bar{\beta }{I}_B+I_{CEO}$$

通常 $I_{CEO}$ 很小，可简化：

$$I_C\approx \bar{\beta }{I}_B$$

共发射极电流放大系数：

$$\bar{\beta }=\frac{\bar{\alpha }}{1-\bar{\alpha }},\bar{\alpha }=\frac{\bar{\beta }}{1+\bar{\beta }}$$

由于 $\bar{\alpha }$ 很接近 1，$\bar{\beta }$ 远大于 1

穿透电流 $I_{CEO}$：基极开路（$I_B=0$）时的 $I_C$，$I_{CEO}=\left(1+\bar{\beta }\right)I_{CBO}$

共集电极

输入：B；输出：E

由 $I_E=I_B+I_C$

$$I_E=\left(1+\bar{\beta }\right)I_B+I_{CEO}\approx \left(1+\bar{\beta }\right)I_B$$

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三极管模型

埃伯斯－莫尔模型

（不用于计算，了解即可）

• 埃伯斯－莫尔模型（Ebers–Moll）：用两个等效二极管表示两个 PN 结，再用两个受控电流源表示结之间的载流子传输。
  • 通用模型，适用性广
  • 未击穿时，可描述放大、饱和、截止等工作模式
    

电流传输方程

两个等效二极管的电流：

$$I_F=I_{EBS}\left(e^{V_{BE}/V_T}-1\right),I_R=I_{CBS}\left(e^{V_{BC}/V_T}-1\right)$$

端口电流：

$$\{\begin{array}{rl}{I}_E& =I_F-{\bar{\alpha }}_R{I}_R\\ I_C& ={\bar{\alpha }}_F{I}_F-I_R\\ I_B& =I_E-I_C=(1-{\bar{\alpha }}_F)I_F+(1-{\bar{\alpha }}_R)I_R\end{array}$$

参数	含义
$I_F$、$I_R$	发射结、集电结的等效二极管电流，正方向均为二极管正向
$I_{EBS}$、$I_{CBS}$	两个等效二极管的反向饱和电流（缺失字母代表的极短路时的结的短路电流）
${\bar{\alpha }}_F$	正向共基极传输系数，即前文的 $\bar{\alpha }$，接近 $1$
${\bar{\alpha }}_R$	反向共基极传输系数，通常小于 ${\bar{\alpha }}_F$

埃伯斯-莫尔模型表达式

三个极电流与两个结电压的关系：

$$\begin{array}{rl}{I}_E& =I_F-{\bar{\alpha }}_R{I}_R=I_{EBS}\left(e^{\frac{V_{BE}}{V_T}}-1\right)-{\bar{\alpha }}_R{I}_{CBS}\left(e^{\frac{V_{BC}}{V_T}}-1\right)\\ I_C& ={\bar{\alpha }}_F{I}_F-I_R={\bar{\alpha }}_F{I}_{EBS}\left(e^{\frac{V_{BE}}{V_T}}-1\right)-I_{CBS}\left(e^{\frac{V_{BC}}{V_T}}-1\right)\\ I_B& =I_E-I_C=(1-{\bar{\alpha }}_F)I_{EBS}\left(e^{\frac{V_{BE}}{V_T}}-1\right)+(1-{\bar{\alpha }}_R)I_{CBS}\left(e^{\frac{V_{BC}}{V_T}}-1\right)\end{array}$$

也可表示为：

$$\{\begin{array}{rl}{I}_E& =(1-{\bar{\alpha }}_R{\bar{\alpha }}_F)I_F+{\bar{\alpha }}_R{I}_C\\ & =(1-{\bar{\alpha }}_R{\bar{\alpha }}_F)I_{EBS}\left(e^{\frac{V_{BE}}{V_T}}-1\right)+{\bar{\alpha }}_R{I}_C\\ & =I_{EBO}\left(e^{\frac{V_{BE}}{V_T}}-1\right)+{\bar{\alpha }}_R{I}_C\\ I_C& ={\bar{\alpha }}_F{I}_E-(1-{\bar{\alpha }}_R{\bar{\alpha }}_F)I_R\\ & ={\bar{\alpha }}_F{I}_E-(1-{\bar{\alpha }}_R{\bar{\alpha }}_F)I_{CBS}\left(e^{\frac{V_{BC}}{V_T}}-1\right)\\ & ={\bar{\alpha }}_F{I}_E-I_{CBO}\left(e^{\frac{V_{BC}}{V_T}}-1\right)\end{array}$$

开路测得的反向饱和电流与模型参数的关系：

$$I_{EBO}=(1-{\bar{\alpha }}_F{\bar{\alpha }}_R)I_{EBS},I_{CBO}=(1-{\bar{\alpha }}_F{\bar{\alpha }}_R)I_{CBS}$$

• $I_{EBO}$：集电极开路时，发射结的反向饱和电流。
• $I_{CBO}$：发射极开路时，集电结的反向饱和电流。

工作模式

模式	发射结	集电结	电流特点
放大	正偏	反偏	$I_F$较大，$I_R$较小且可以忽略。此时正向传输占主导，$I_E\approx I_F$，$I_C\approx \bar{\alpha }{I}_E\approx \bar{\alpha }{I}_{EBS}{e}^{V_{BE}/V_T}=I_S{e}^{V_{BE}/V_T}$
饱和	正偏	正偏	需用完整模型。$I_F$、$I_R$ 都较大，$I_C$ 同时受两个结电压控制。某一结正偏电压增大时，$I_E,I_C$减小，$I_B$增大。该模式下$I_B$大大增加。
截止	反偏	反偏	忽略漏电流时，$I_B\approx I_C\approx I_E\approx 0$

其中 $I_S={\bar{\alpha }}_F{I}_{EBS}$：发射结反向饱和电流转化到集电结上的电流值

共发射极等效电路模型

注：对于硅管，通常取 $V_{BC(on)}=0.7V,V_{BE(on)}=0.3V$。
低掺的集电结少子浓度更大，$I_S$更大，故导通电压更小。

大信号模型

放大模式

$$I_C\approx \bar{\beta }{I}_B,I_B\approx \frac{I_C}{\bar{\beta }}\approx \frac{\bar{\alpha }{I}_{EBS}}{\bar{\beta }}{e}^{V_{BE}/V_T}\approx \frac{I_S}{\bar{\beta }}{e}^{V_{BE}/V_T},I_E=(1+\bar{\beta })I_B$$

等效电路：B–E 间为等效二极管，C–E 间为受控电流源 $\bar{\beta }{I}_B$。用二极管的恒压模型替代（忽略导通电阻$R_D$）

饱和模式

$$V_{BE(sat)}\approx 0.7\mathrm{V},V_{BC(sat)}\approx 0.4\mathrm{V}$$ $$V_{CE(sat)}=V_{BE(sat)}-V_{BC(sat)}\approx 0.3\mathrm{V}$$

等效电路：B–E、C–E 间分别为恒压源。$I_B$、$I_C$ 由外部电路求得，通常 $I_C<\bar{\beta }{I}_B$。
若测到$I_{CE}\approx 0.3V$，则为饱和模式

截止模式

等效电路：三个电极之间均视为开路。

小信号模型

先用大信号模型求 $Q$ 点，再计算小信号参数。
小信号模型只分析增量部分：独立直流电压源短路、独立直流电流源开路，受控源保留。

静态工作点 $Q$：只有直流作用时的电压、电流。叠加微小信号后：

$$v_{BE}=V_{BEQ}+v_{be},i_B=I_{BQ}+i_b,i_C=I_{CQ}+i_c$$

字符规则：

• 大写字母、大写下标：直流量，如 $I_{BQ}$
• 小写字母、大写下标：总瞬时量，如 $i_B$
• 小写字母、小写下标：交流增量，如 $i_b$

电流控制形式：$v_{be}=i_b{r}_{be},i_c=\beta i_b,i_e=(1+\beta )i_b$

输入电阻和发射结增量结电阻

三极管的输入电阻（类比二极管）：

$$r_{be}=\frac{V_T}{I_{BQ}}=(1+\beta )\frac{V_T}{I_{EQ}}=(1+\beta )r_e$$

发射结增量电阻：

$$r_e=\frac{V_T}{I_{EQ}}$$

电压控制形式：$i_c=g_m{v}_{be}$

跨导 $g_m$

跨导$g_m$：$v_{be}$ 对 $i_c$ 的增量控制能力

$$g_m=\frac{i_c}{v_{be}}=\frac{\beta i_b}{i_b{r}_{be}}=\frac{\beta }{r_{be}}=\frac{\alpha }{r_e}\approx \frac{I_{CQ}}{V_T}$$

室温下，$g_m{\approx }_{38}.5I_{CQ}$

两种受控源等效：$g_m{v}_{be}=\beta i_b,g_m=\frac{\beta }{r_{be}}=\frac{\alpha }{r_e}$

小信号参数：

$$r_{be}\approx \frac{\beta V_T}{I_{CQ}},r_e\approx \frac{V_T}{I_{EQ}},g_m\approx \frac{I_{CQ}}{V_T}$$

参数由 $Q$ 点决定，电流越大，增量电阻越小，跨导越大。

注：直流交流的洗漱$\bar{\alpha }=\alpha ,\bar{\beta }=\beta$，统一用$\alpha ,\beta$表示

PNP 管与 NPN 管的小信号模型形式相同

基极电阻与结电容

考虑基极引线电阻和基区体电阻的影响时，引入内部基极 $b^{\prime }$：

$$r_{be}=r_{b{b}^{\prime }}+r_{b^{\prime }e},r_{b^{\prime }e}\approx \frac{V_T}{I_{BQ}},g_m=\frac{\beta }{r_{b^{\prime }e}}$$

• $r_{b{b}^{\prime }}$：基极引线电阻与基区体电阻；受控源由内部结电压 $v_{b^{\prime }e}$ 控制。
• 低频：忽略结电容。
• 高频：保留 $C_{b^{\prime }e}$、$C_{b^{\prime }c}$；放大模式下，前者以扩散电容为主，后者以势垒电容为主。

伏安特性曲线

共发射极连接，用输入、输出两组曲线描述：

曲线	关系	保持不变的参变量
输入特性	$i_B=f(v_{BE})$	$v_{CE}$
输出特性	$i_C=f(v_{CE})$	$i_B$

输入特性

• $v_{ce}$ 在 $0\to 0.3V$ 时，三极管处于饱和模式
• 在 $v_{BE}$ 不变时，$v_{CE}$ 增大，$i_B$ 减小，曲线右移
  • 由于基区宽度调制效应，$v_{CB}$ 增大时，基区宽度减小，复合电流减小，从而导致 $i_B$ 减小
• 从饱和区进入放大区时变化较明显；进入放大区后，曲线变化较小

基区宽度调制效应

基区宽度调制：集电结反偏电压增大，集电结阻挡层变宽，使中性基区变窄

$$v_{CE}\uparrow \Rightarrow W_B\downarrow \Rightarrow \text{基区复合减少}\Rightarrow i_B\downarrow ,\alpha ,\beta \uparrow$$

输出特性

（等间距）

区域	结的偏置与曲线特点
饱和区	两个结均正偏；$v_{CE}$ 很小，$i_C$ 明显受 $v_{CE}$ 影响
放大区	发射结正偏、集电结反偏；$i_C\approx \bar{\beta }{i}_B+I_{CEO}$，曲线近似水平、略向上倾斜(基区调制，$\beta$ 增大随 $v_{ce}$)
截止区	工程上取 $i_B=0$、$i_C\le I_{CEO}$ 的区域；忽略漏电流时 $i_C\approx 0$
击穿区	集电结反向电压过大，发生反向击穿，$i_C$ 急剧增大

厄尔利电压

固定不同的 $v_{BE}$（参变量）(此时非等间距)，将放大区曲线向负轴延长，交点横坐标为厄尔利电压 $V_A$。可修正电流传输方程：

$$i_C\approx I_S{e}^{v_{BE}/V_T}\left(1-\frac{v_{CE}}{V_A}\right)$$

• $|V_A|$ 越小，输出曲线斜率越大，基区宽度调制越明显
• $|V_A|\to \infty$，则基区调制效应不计
• 小功率管的 $|V_A|$ 约为 $50\sim 100\mathrm{V}$
  
  $i_C$ 同时受控于 $v_{ce}$。基区宽度调制效应对三极管小信号电路模型的影响可以用一只连接于CE之间的线性电阻 $r_{ce}$ 来等效。
  $r_{ce}=\frac{\partial v_{ce}}{\partial i_C}\approx \frac{|V_A|}{I_{CQ}}$

极限参数

参数	含义
$I_{CM}$	集电极最大允许电流，讲义以 $\beta$ 明显下降时的电流为界
$P_{CM}$	在最高工作温度限制下，集电极最大允许耗散功率
$V_{(BR)CEO}$	基极开路时的击穿电压，限制允许的 $v_{CE}$

直流工作点应同时满足：

$$I_{CQ}\le I_{CM},V_{CEQ}{I}_{CQ}\le P_{CM},V_{CEQ}<V_{(BR)CEO}$$

三条限制共同确定讲义中的安全工作区。

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三极管电路的分析方法

分析顺序：大信号模型求 $Q$ 点 $\to$ 小信号模型求增量 $\to$ 叠加。

以下以 NPN 硅管为例，取 $V_{BE(on)}\approx 0.7\mathrm{V}$、$V_{CE(sat)}\approx 0.3\mathrm{V}$；用 $\beta$ 近似统一表示直流与低频小信号电流放大系数。

图解分析法

电路分为三极管、输入端管外电路、输出端管外电路。在特性曲线上作管外电路的负载线，交点决定电压、电流。

图中发射极接地，输入为 $V_{BB}+v$：

$$v_{BE}=V_{BB}+v-i_B{R}_B,v_{CE}=V_{CC}-i_C{R}_C$$

直流分析

令 $v=0$：

$$V_{BE}=V_{BB}-I_B{R}_B,V_{CE}=V_{CC}-I_C{R}_C$$

负载线	横轴截距	纵轴截距
输入负载线	$I_B=0$，$V_{BE}=V_{BB}$	$V_{BE}=0$，$I_B=V_{BB}/R_B$
输出负载线	$I_C=0$，$V_{CE}=V_{CC}$	$V_{CE}=0$，$I_C=V_{CC}/R_C$

求 $Q$ 点：输入交点求 $I_{BQ}$，再取对应的输出曲线，与输出负载线相交，求 $I_{CQ}$、$V_{CEQ}$。

交流分析

• 输入：$v$ 变化，输入负载线平行移动，交点给出 $i_B$。
• 输出：电源、电阻不变，输出负载线不变；$i_B$ 变化，工作点沿负载线移动。
• 增量：瞬时量减去直流量，得到 $i_b$、$i_c$、$v_{be}$、$v_{ce}$。

注：输入过大，会进入截止或饱和区，产生失真。图解法用于理解，计算通常用等效电路法。

等效电路分析法

电源网络的等效

从三极管端口向电源侧看，先等效输入偏置网络。

方法	等效源	连接方式
戴维南等效	端口开路电压 $V_g$	$V_g$ 串联 $R_g$
诺顿等效	端口短路电流 $I_g$	$I_g$ 并联 $R_g$

$R_g$：独立源置零后，从端口看进去的电阻。电压源短路、电流源开路，受控源保留；含受控源时可用测试源。两种等效中 $R_g$ 相同，$I_g=V_g/R_g$。

分压偏置：$R_{B1}$ 接 $V_{CC}$、$R_{B2}$ 接地：

$$V_{BB}=V_{CC}\frac{R_{B2}}{R_{B1}+R_{B2}},R_B=R_{B1}\parallel R_{B2}$$

$V_{BB}$ 是开路电压；接入三极管后，$I_B$ 在 $R_B$ 上产生压降。

直流通路与交流通路

元件	直流通路	交流小信号通路
独立直流电压源	保留	短路
独立直流电流源	保留	开路
零平均值交流源	置零	保留
隔直流、旁路电容	开路	电抗足够小时，近似短路
电感	稳态下近似短路	扼流圈等大电感，电抗足够大时近似开路
三极管	大信号模型	小信号模型

直流求 $Q$ 点，交流求增量。电容短路、电感开路的交流近似须符合所分析的频段。

直流分析

基本步骤

1. 画直流通路，必要时等效输入电源。
2. 假设放大，用 $V_{BE(on)}$、$I_C\approx \beta I_B$ 求电流。
3. 求各极电位，验算发射结、集电结的偏置。
4. 假设不成立，改用饱和或截止模型重新计算。

先假设，再验算

NPN 管正向放大：$V_C>V_B>V_E$，即发射结正偏、集电结反偏。
验算集电结可用 $V_{BC}=V_{BE}-V_{CE}<0$。
若算出 $V_{CE}<V_{CE(sat)}$，放大假设明显不成立。

发射极接地

输入为 $V_{BB}$ 串联 $R_B$，集电极经 $R_C$ 接 $V_{CC}$。

放大：

$$I_{BQ}=\frac{V_{BB}-V_{BE(on)}}{R_B},I_{CQ}\approx \beta I_{BQ},V_{CEQ}=V_{CC}-I_{CQ}{R}_C$$

饱和：改用恒压模型，分别求两回路电流：

$$I_B=\frac{V_{BB}-V_{BE(sat)}}{R_B},I_C=\frac{V_{CC}-V_{CE(sat)}}{R_C}$$

截止：$I_B\approx I_C\approx 0$，$V_{CE}\approx V_{CC}$。

进入饱和的趋势：

• $R_C$ 增大 $\to$ 放大解的 $V_{CE}$ 减小。
• $R_B$ 减小或 $V_{BB}$ 增大 $\to$ $I_B$ 增大 $\to$ 放大解的 $V_{CE}$ 减小。

含发射极电阻：折算法

发射极经 $R_E$ 接地，放大模式下：

$$V_{BB}=I_B{R}_B+V_{BE(on)}+I_E{R}_E,I_E=(1+\beta )I_B$$

折算法

求 $I_B$：$R_E$ 乘以 $(1+\beta )$，折算到基极回路：

$$I_{BQ}=\frac{V_{BB}-V_{BE(on)}}{R_B+(1+\beta )R_E}$$

求 $I_E$：$R_B$ 除以 $(1+\beta )$，折算到发射极回路：

$$I_{EQ}=\frac{V_{BB}-V_{BE(on)}}{R_E+R_B/(1+\beta )},I_{BQ}=\frac{I_{EQ}}{1+\beta }$$

再求：

$$I_{CQ}\approx \beta I_{BQ}=\alpha I_{EQ},V_{CEQ}=V_{CC}-I_{CQ}{R}_C-I_{EQ}{R}_E$$

若 $\beta \gg 1$，$I_{EQ}\approx I_{CQ}$：

$$V_{CEQ}\approx V_{CC}-I_{CQ}(R_C+R_E)$$

折算是利用电流关系改写输入回路的 KVL。

交流小信号分析

步骤：由 $Q$ 点求参数 $\to$ 画交流通路 $\to$ 替换小信号模型 $\to$ 求增量。

参数	计算式
跨导	$g_m\approx I_{CQ}/V_T$
发射结增量电阻	$r_e\approx V_T/I_{EQ}$
内部基极输入电阻	$r_{b^{\prime }e}\approx \beta V_T/I_{CQ}=\beta /g_m$
计及基极串联电阻	$r_{be}=r_{b{b}^{\prime }}+r_{b^{\prime }e}$
计及基区宽度调制	$r_{ce}\approx |V_A|/I_{CQ}$

室温 $V_T\approx 26\mathrm{mV}$。$I_{CQ}$ 用 $\mathrm{mA}$、$g_m$ 用 $\mathrm{mS}$ 时，$g_m\approx 38.5I_{CQ}$。

发射极交流接地的共射电路

忽略 $r_{b{b}^{\prime }}$、结电容，输入：

$$i_b=\frac{v}{R_B+r_{b^{\prime }e}},v_{b^{\prime }e}=i_b{r}_{b^{\prime }e}$$

计及 $r_{ce}$：受控电流源 $g_m{v}_{b^{\prime }e}$ 在 $R_C$、$r_{ce}$ 中分流：

$$v_{ce}=-g_m{v}_{b^{\prime }e}(R_C\parallel r_{ce}),i_c=-\frac{v_{ce}}{R_C}=g_m{v}_{b^{\prime }e}\frac{r_{ce}}{R_C+r_{ce}}$$

信号源到输出的增益：

$$\frac{v_{ce}}{v}=-g_m(R_C\parallel r_{ce})\frac{r_{b^{\prime }e}}{R_B+r_{b^{\prime }e}}$$

• 负号：共射输入、输出反相。
• $r_{ce}\gg R_C$ 时，$i_c\approx g_m{v}_{b^{\prime }e}=\beta i_b$。
• 计入 $r_{ce}$ 时，端口电流 $i_c=g_m{v}_{b^{\prime }e}+v_{ce}/r_{ce}$，须结合外部回路求解。

叠加总响应

$$i_B=I_{BQ}+i_b,i_C=I_{CQ}+i_c,v_{CE}=V_{CEQ}+v_{ce}$$

条件：小信号参数由 $Q$ 点决定；增量足够小，且变化过程中保持放大模式。

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三极管的应用原理

电流源

原理：放大区中，输入控制 $I_C$，输出电压变化时 $I_C$ 近似不变。

忽略基区宽度调制时：

$$I_C\approx \beta I_B,I_C\approx I_S{e}^{V_{BE}/V_T}$$

可由 $I_B$ 或 $V_{BE}$ 设定电流。

与理想电流源的区别：

• 输出电压为单极性，范围有限；过小进入饱和，过大受击穿、功耗限制。
• 基区宽度调制使电流随 $V_{CE}$ 增大而略有增大。
• 电流由外部电源供给，三极管控制其大小。

放大器

组成与放大过程

部分	作用
三极管 $T$	输入变化控制输出电流
偏置电路	提供静态工作点 $Q$
信号源 $v_i$	提供待放大的交流信号
负载	将电流变化转化为电压变化

共射放大：$v_i$ 增大 $\to$ $i_C$ 增大 $\to$ $R_C$ 压降增大 $\to$ 集电极输出电压减小，故反相。

输出 = 直流工作点 + 交流增量：

$$v_O=V_{OQ}+v_o$$

偏置决定 $V_{OQ}$，小信号模型求 $v_o$；放大信号的能量由直流电源供给。

接入负载：隔直流电容使 $R_L$ 不影响直流 $Q$ 点，交流通路中 $R_L$ 与 $R_C$ 并联。发射极交流接地时：

$$\frac{v_o}{v_{b^{\prime }e}}=-g_m(R_C\parallel R_L\parallel r_{ce})$$

输入为内部结电压 $v_{b^{\prime }e}$；从信号源求增益，还需计入输入分压。

静态工作点与失真

$Q$ 点（按 $I_{CQ}$ 高低）	原因	共射集电极输出
过低，靠近截止	电流减小时容易截止	高电压一端削平，截止失真
过高，靠近饱和	电流增大时容易饱和	低电压一端削平，饱和失真

偏置要求：$Q$ 点远离截止、饱和边界，留出信号变化范围；温度变化、更换管子时尽量稳定。同时应限制输入幅度。

温度对工作点的影响

$$I_{CQ}=\beta I_{BQ}+I_{CEO}=\beta I_{BQ}+(1+\beta )I_{CBO}$$

参数	讲义讨论的温度范围内升温时
$\beta$	一般增大
相同电流所需的 $V_{BE}$	减小
$I_{CBO}$	增大，$I_{CEO}$ 也增大

固定偏置：升温容易使 $I_{CQ}$ 增大，$Q$ 点向饱和区移动。

注：讲义估算每升高 $1{}^{\circ }\mathrm{C}$，$\beta$ 相对增加约 $1\%$，相同电流下 $V_{BE}$ 减小约 $2.5\mathrm{mV}$；数值与器件、工作点有关。

分压式偏置电路

• $R_{B1}$、$R_{B2}$：对 $V_{CC}$ 分压，提供基极偏置。
• $R_E$：电流变化引起压降变化，形成负反馈。
• $C_E$：直流开路；交流电抗足够小时，旁路 $R_E$。

稳定工作点的原理

基极电位近似稳定时：

$$I_C\uparrow \Rightarrow I_E\uparrow \Rightarrow V_E=I_E{R}_E\uparrow \Rightarrow V_{BE}=V_B-V_E\downarrow$$

基极驱动减小，抑制 $I_C$ 的增加；电流减小时反向调节。

$C_E$ 的作用：直流开路，保留 $R_E$ 稳定 $Q$ 点的作用；交流旁路，减小交流负反馈，提高增益。

分压电流远大于 $I_{BQ}$、$\beta \gg 1$ 时：

$$V_{BQ}\approx V_{CC}\frac{R_{B2}}{R_{B1}+R_{B2}},I_{CQ}\approx I_{EQ}\approx \frac{V_{BQ}-V_{BE(on)}}{R_E}$$

$I_{CQ}$ 主要由分压电压和 $R_E$ 决定，对 $\beta$ 变化不那么敏感。

电阻的选择

选择	作用与限制
$R_E$ 较大	调节作用强；目标 $I_{CQ}$ 不变时，$V_{EQ}$ 增大、$V_{CEQ}$ 减小，输出变化范围减小
$R_{B1}$、$R_{B2}$ 过大	分压电流小，$I_{BQ}$ 容易影响分压，$V_{BQ}$ 不稳定
$R_{B1}$、$R_{B2}$ 过小	加重输入负载，输入电阻减小

讲义常取：

$$V_{EQ}\approx 0.2V_{CC}\text{或}{V}_{EQ}\approx 1\sim 3\mathrm{V},I_1\approx (5\sim 10)I_{BQ}$$

$I_1$ 为上方 $R_{B1}$ 的电流；$V_{EQ}$ 还须满足所需的 $V_{CEQ}$ 与输出变化范围。

设计步骤

已知 $I_{CQ}$、$V_{CEQ}$、$V_{CC}$、$\beta$：

1. 选 $V_{EQ}$，求 $I_{EQ}\approx I_{CQ}$、$R_E=V_{EQ}/I_{EQ}$。
2. 求 $V_{BQ}=V_{EQ}+V_{BE(on)}$、$I_{BQ}\approx I_{CQ}/\beta$，选 $I_1$。
3. 用分压支路、基极节点 KCL 求：

$$R_{B1}=\frac{V_{CC}-V_{BQ}}{I_1},R_{B2}=\frac{V_{BQ}}{I_1-I_{BQ}}$$

$I_1\gg I_{BQ}$ 时，$I_1-I_{BQ}\approx I_1$，即讲义的分压近似。

4. 由输出回路求：

$$R_C=\frac{V_{CC}-V_{CEQ}-V_{EQ}}{I_{CQ}}$$

最后重新计算 $Q$ 点，验算放大模式与极限参数。

跨导线性电路

跨导线性环（Translinear loop，TL 环）：偶数个三极管的发射结构成闭环，顺、逆时针各半，利用指数关系实现电流运算。

条件：同工艺、同温度、放大模式；忽略基区宽度调制，节点电流分析中忽略基极电流。

原理

CW 为顺时针，CCW 为逆时针。由 KVL 与 $v_{BEk}=V_T\ln (i_{Ck}/I_{Sk})$：

$$\begin{array}{rl}\sum _{\mathrm{CW}}{v}_{BEk}& =\sum _{\mathrm{CCW}}{v}_{BEk}\\ \sum _{\mathrm{CW}}\ln \frac{i_{Ck}}{I_{Sk}}& =\sum _{\mathrm{CCW}}\ln \frac{i_{Ck}}{I_{Sk}}\\ \prod _{\mathrm{CW}}\frac{i_{Ck}}{I_{Sk}}& =\prod _{\mathrm{CCW}}\frac{i_{Ck}}{I_{Sk}}\end{array}$$

同工艺、同温度下，$I_{Sk}\propto S_k$，$S_k$ 为发射结面积：

$$\prod _{\mathrm{CW}}{i}_{Ck}=\lambda \prod _{\mathrm{CCW}}{i}_{Ck},\lambda =\frac{{\prod }_{\mathrm{CW}}{S}_k}{{\prod }_{\mathrm{CCW}}{S}_k}$$

TL 环关系

面积相等时，$\lambda =1$：

$$\prod _{\mathrm{CW}}{i}_{Ck}=\prod _{\mathrm{CCW}}{i}_{Ck}$$

结电压相加、相减，转化为集电极电流相乘、相除。

平方电路与平方根电路

各管面积相等，均满足：

$$i_{C1}{i}_{C2}=i_{C3}{i}_{C4}$$

平方电路

节点电流：

$$i_{C1}=i_{C2}=i_X,i_{C3}=i_Y,i_{C4}=i_O$$

代入：

$$i_X^2=i_Y{i}_O\Rightarrow i_O=\frac{i_X^2}{i_Y}$$

$i_Y$ 为比例基准，需 $i_Y>0$。

平方根电路

节点电流：

$$i_{C1}=i_X,i_{C2}=i_Y,i_{C3}=i_{C4}=i_O$$

代入：

$$i_X{i}_Y=i_O^2\Rightarrow i_O=\sqrt{i_X{i}_Y}$$

取正根，符合图中电流方向；各管须保持放大模式。

矢量模电路与矢量差电路

$T_4$、$T_5$ 的发射结面积为 $T_1$～$T_3$ 的 $2$ 倍。$T_1$、$T_2$、$T_4$、$T_5$ 的 TL 环给出：

$$i_{C4}{i}_{C5}=4i_{C1}{i}_{C2}$$

面积因子 $4=2\times 2$。

矢量模（左图）：由 $i_{C2}=i_{C3}$、$i_O=i_{C1}+i_{C3}$、$i_{C1}+i_Y=i_{C2}$：

$$i_{C1}=\frac{i_O-i_Y}{2},i_{C2}=\frac{i_O+i_Y}{2},i_{C4}=i_{C5}=i_X$$

代入 TL 环：

$$i_X^2=4\cdot \frac{i_O-i_Y}{2}\cdot \frac{i_O+i_Y}{2}=i_O^2-i_Y^2\Rightarrow i_O=\sqrt{i_X^2+i_Y^2}$$

矢量差（右图）：交换右侧输入、输出电流，同理：

$$i_O=\sqrt{i_X^2-i_Y^2}$$

需 $i_X\ge i_Y$；接近边界时，检查各管能否保持所需模式。

TTL 电路

TTL（Transistor–Transistor Logic）：晶体管－晶体管逻辑。图中为三输入与非门：

$$Y=\overline{ABC}$$

不全为 $1$，输出为 $1$；全为 $1$，输出为 $0$。

• $T_1$：多发射极输入管，分别接 $A$、$B$、$C$。
• $T_2$：驱动后级，控制上拉、下拉。
• $T_3$、$T_4$：上拉支路。
• $T_5$：下拉管，饱和时输出低电平。

输入与输出状态

输入	$T_1$	$T_2$	$T_3$	$T_4$	$T_5$	输出
任意一路低	深度饱和	截止	导通	导通	截止	高
三路均高	反向工作	饱和导通	导通	截止	饱和导通	低

任意一路低：对应发射结导通，降低 $T_2$ 驱动电位；$T_2$、$T_5$ 截止，上拉导通：

$$v_O=V_{OH}=V_{CC}-i_{B3}{R}_2-v_{BE3}-v_{BE4}$$

取 $V_{CC}=5\mathrm{V}$，忽略 $R_2$ 压降：

$$V_{OH}\approx 5-0.7-0.7=3.6\mathrm{V}$$

三路均高：$T_1$ 发射结反偏、集电结正偏，反向工作；$R_1$ 支路经其集电结驱动 $T_2$。$T_5$ 饱和、$T_4$ 截止：

$$v_O=V_{OL}\approx V_{CE(sat)}=0.3\mathrm{V}$$

接口电平

讲义采用的 TTL 接口电平：

参数	含义	数值
$V_{OH\min }$	输出高电平最小保证值	$2.4\mathrm{V}$
$V_{OL\max }$	输出低电平最大保证值	$0.4\mathrm{V}$
$V_{IH\min }$	输入高电平最低值	$2.0\mathrm{V}$
$V_{IL\max }$	输入低电平最高值	$0.8\mathrm{V}$

输入判断：$v_I\le 0.8\mathrm{V}$ 为低，$v_I\ge 2.0\mathrm{V}$ 为高，中间不保证逻辑状态。

注：表中为保证界限，用于检查能否驱动后级；$3.6\mathrm{V}$、$0.3\mathrm{V}$ 是图中计算的典型输出值。