1.2-矩阵的初等变换

初等行变换

矩阵有三种初等行变换：

1. 交换两行：$r_i\leftrightarrow r_j$；
2. 某一行乘非零常数：$r_i\to k{r}_i$，其中 $k\ne 0$；
3. 某一行加上另一行的若干倍：$r_j\to r_j+k{r}_i$。

一个矩阵经过有限次初等行变换得到另一个矩阵，则称这两个矩阵行等价。

行阶梯形与行最简阶梯形

• 行阶梯形矩阵（REF）：
  • 所有非零行位于零行上方；
  • 每个非零行的首个非零元素（主元）位于上一行主元的右侧；
  • 每个主元下方的元素均为零。
• 行最简阶梯形矩阵（RREF）：在行阶梯形的基础上，还满足：
  • 每个主元均为 $1$；
  • 每个主元是其所在列唯一的非零元素。
• 主元列：包含主元位置的列。
• 任意矩阵都行等价于唯一的行最简阶梯形矩阵。

Gauss–Jordan 消去法

对于矩阵方程

$$Ax=b,$$

构造增广矩阵 $[A\mid b]$，再通过初等行变换将其化为行最简阶梯形。若 $A$ 为可逆方阵，则

$$[A\mid b]⟶[I\mid x],$$

右侧所得向量 $x$ 即方程的唯一解。

一般情形

当 $A$ 不是可逆方阵时，行最简阶梯形未必具有 $[I\mid x]$ 的形式。此时应根据主元列、自由变量以及是否出现形如 $[0\cdots 0\mid c]$（$c\ne 0$）的矛盾行，判断方程是无解、有唯一解还是有无穷多解。

复矩阵方程的实数表示

设

$$A=A_{\mathrm{r}}+j{A}_{\mathrm{i}},x=x_{\mathrm{r}}+j{x}_{\mathrm{i}},b=b_{\mathrm{r}}+j{b}_{\mathrm{i}}.$$

则

$$(A_{\mathrm{r}}+j{A}_{\mathrm{i}})(x_{\mathrm{r}}+j{x}_{\mathrm{i}})=b_{\mathrm{r}}+j{b}_{\mathrm{i}}$$

等价于

$$\{\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{r}}{x}_{\mathrm{r}}-A_{\mathrm{i}}{x}_{\mathrm{i}}=b_{\mathrm{r}},\\ A_{\mathrm{i}}{x}_{\mathrm{r}}+A_{\mathrm{r}}{x}_{\mathrm{i}}=b_{\mathrm{i}}.\end{array}$$

写成实矩阵方程为

$$\left[\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{r}}& -A_{\mathrm{i}}\\ A_{\mathrm{i}}& A_{\mathrm{r}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{r}}\\ x_{\mathrm{i}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_{\mathrm{r}}\\ b_{\mathrm{i}}\end{array}\right].$$

若 $A\in {\mathbb{C}}^{m\times n}$，该式把含 $n$ 个复未知量、$m$ 个复方程的问题，转化为含 $2n$ 个实未知量、$2m$ 个实方程的问题。

用初等行变换求逆矩阵

若方阵 $A$ 可逆，可将 $AX=I$ 写成增广矩阵并进行行变换：

$$[A\mid I]⟶[I\mid A^{-1}].$$

若左半部分不能化为 $I$，则 $A$ 不可逆。

初等列变换

与行变换对应，矩阵也有三种初等列变换：

1. 交换两列：$c_i\leftrightarrow c_j$；
2. 某一列乘非零常数：$c_i\to k{c}_i$，其中 $k\ne 0$；
3. 某一列加上另一列的若干倍：$c_j\to c_j+k{c}_i$。

一个矩阵经过有限次初等列变换得到另一个矩阵，则称这两个矩阵列等价。

与方程 $Ax=b$ 的关系

对增广矩阵做初等行变换不会改变方程组的解集；直接对系数矩阵 $A$ 做初等列变换则相当于改变未知量的坐标或组合方式。若不同时记录并还原对应的变量变换，原解向量各分量的含义将发生变化。

对线性方程组解的影响

• 初等行变换作用于方程本身，相当于对方程进行交换、非零倍缩放或线性组合，因此保持解集不变。
• 初等列变换作用于系数矩阵的列，也就是作用于未知量对应的方向：
  • 交换两列时，对应未知量的顺序也要交换；
  • 某列乘以非零常数时，对应未知量需要作相反比例的缩放；
  • 某列加上另一列的若干倍时，对应未知量之间会产生线性混合。

因此，列变换并非不能用于方程求解，但必须同步追踪变量变换，才能恢复原变量下的解。

在盲信号分离中的应用

在盲信号分离中，观测模型通常写为

$$y=Ax,$$

其中 $x$ 表示未知源信号，$A$ 表示未知混合矩阵。仅根据观测 $y$ 恢复 $x$ 时，常见且通常可接受的是以下两类不确定性：

• 排序不确定性：分离出的各源信号顺序可能与原顺序不同，但这通常不影响各源信号本身的恢复质量；
• 尺度不确定性：分离结果可能与原信号相差一个非零常数因子；在复数情形下，该因子还可能包含固定相位差。

这两类不确定性分别对应列的置换与非零缩放。一般的列线性组合会重新混合源信号，通常不属于盲信号分离中可直接接受的模糊性。