2-复变函数 Complex Functions

复变函数

复变函数

在复平面的区域 $G$ 上，按某一法则 $f$，每个 $z$ 对应唯一一个复数 $w$：

$$w=f(z),z\in G$$

设 $z=x+iy$，$w=u+iv$，则

$$w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$$

• $u(x,y)$：$w$ 的实部；$v(x,y)$：$w$ 的虚部

• 复变函数可看作两个二元实函数 $u(x,y)$、$v(x,y)$ 的组合。

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几何-映射关系

复变函数的核心是平面到平面的映射：

$$f:G⟶G^{\ast },G^{\ast }=f(G)=\{f(z):z\in G\}$$

• 像点，$z_0\mapsto w_0=f(z_0)$；像曲线，$z=z(t)\mapsto w=f(z(t))$；像区域，$G\mapsto G^{\ast }=f(G)$。

函数使图形伸缩、旋转、弯曲；不同的点或曲线也可能有相同的像

例：绘制函数 $\omega =\frac{1}{z}$
$z=\frac{1}{\omega }=\frac{1}{u+iv}=\frac{u}{u^2+v^2}+i\frac{v}{u^2+v^2}$，然后与 $z=x+iy$、$(x,y)$ 比较得到 $(u,v)$ 的表达式
补充，此变换过原点的圆会变化为直线，不过原点的直线会变化为圆

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区域

• 邻域：$U(z_0,r)=\{z:|z-z_0|<r\}$，即以 $z_0$ 为中心、半径为 $r$ 的圆盘。

• 内点：若存在 $r>0$，使 $U(z_0,r)\subset G$，则 $z_0$ 是 $G$ 的内点。

• 开集：集合中每一点都是内点。

• 连通：任意两点可由一条完全落在集合内的曲线连接。

• 区域：复平面内的一个连通开集。也就是说，集合中每一点都是内点，且任意两点能由一条完全落在集合内的曲线连接。

单连通与多连通

• 单连通区域：区域内任一闭曲线都能在区域内连续缩成一点，即区域没有洞
• 多连通区域：区域内存在不能缩成一点的闭曲线，即区域有洞

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单值函数与多值函数

类型	对每个 $z\in G$	例子
单值函数	恰对应一个 $w$	$w=z^2$
多值函数	可以对应多个 $w$	复对数、复根式

多值函数只有在适当区域上固定一种连续取值（选定一个分支）后，才能按单值函数讨论。