4-阻尼振动

运动方程

阻尼力与微分方程

阻尼力 $f=-\gamma v$（$\gamma >0$），记 ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$，$2\delta =\frac{\gamma }{m}$：
$m\ddot{x}=-kx-\gamma \dot{x}$
$\ddot{x}+2\delta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$

复数法求解

设 $\tilde{x}=A{e}^{i(\omega t+\phi )}$（$\omega$ 可为复数），代入得
${\omega }^2-2i\delta \omega -{\omega }_0^2=0\Rightarrow {\omega }_{\pm }=i\delta \pm \sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}$
对应的指数解为
${\tilde{x}}_{\pm }=e^{-\delta t}{e}^{\pm i\sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}t}$
两根不同时，通解由两个独立解线性组合得到；重根需另取独立解。

---

三种阻尼情形

情形	条件	是否振荡	回到平衡位置的特征
欠阻尼	$0<\delta <{\omega }_0$	是	振幅指数衰减
过阻尼	$\delta >{\omega }_0$	否	通常由慢衰减项主导
临界阻尼	$\delta ={\omega }_0$	否	非振荡情形中通常渐近衰减最快

欠阻尼 $\delta <{\omega }_0$

记 ${\omega }^{\prime }=\sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}$，通解为：
$x=e^{-\delta t}\left(C_1\cos {\omega }^{\prime }t+C_2\sin {\omega }^{\prime }t\right)=A{e}^{-\delta t}\cos ({\omega }^{\prime }t+{\Phi }_0)$

振幅包络为 $A{e}^{-\delta t}$，仍做振荡；$A$、${\Phi }_0$ 由初始条件确定

过阻尼 $\delta >{\omega }_0$

记 $\lambda =\sqrt{{\delta }^2-{\omega }_0^2}$：
$x=A_1{e}^{(-\delta +\lambda )t}+A_2{e}^{(-\delta -\lambda )t}=e^{-\delta t}\left(A_1{e}^{\lambda t}+A_2{e}^{-\lambda t}\right)$

两项均衰减，第一项较慢。$A_1\ne 0$ 且时间足够长时，$x\sim A_1{e}^{-(\delta -\lambda )t}$；不发生持续振荡

临界阻尼 $\delta ={\omega }_0$

重根对应两个独立解 $e^{-\delta t}$、$t{e}^{-\delta t}$，因此
$x=A_1{e}^{-\delta t}+A_{2}t{e}^{-\delta t}=(A_1+A_{2}t)e^{-\delta t}$

固定 $m,k$，一般初始条件下，其非振荡响应的渐近衰减最快（不代表任意初始条件下最先到达 $x=0$）