5-受迫振动

运动方程

策动力与微分方程

策动力 $F=F_0\cos \omega t$（任意驱动力可展开为周期驱动力的叠加），记 ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$，$2\delta =\frac{\gamma }{m}$，$f_0=\frac{F_0}{m}$：
$\ddot{x}+2\delta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=f_0\cos \omega t$
非齐次方程的解 = 通解 + 特解

复数法求解

设 $\tilde{x}=A{e}^{i(\omega t+\phi )},\widetilde{f_0\cos \omega t}=f_0{e}^{i\omega t}$，代入得
$\tilde{x}=\frac{f_0{e}^{i\omega t}}{{\omega }_0^2-{\omega }^2+i2\delta \omega }$
则有：
$A=\frac{f_0}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+4{\delta }^2{\omega }^2}}$
$\tan \phi =-\frac{2\delta \omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}$

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共振

共振类型	达到最大值的量	共振角频率	结论
位移共振	振幅 $A$	${\omega }_r=\sqrt{{\omega }_0^2-2{\delta }^2}$	弱阻尼时 ${\omega }_r\approx {\omega }_0$
速度共振	速度 $v$	${\omega }_r={\omega }_0$	$v_{\max }=A{\omega }_r$ 取得最大值

• 位移共振时 $A_{\max }=\frac{f_0}{2\delta \sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}}$
• 平均吸收功率：$\bar{P}=\frac{1}{2}\gamma {\omega }^2{A}^2$。在 $\omega ={\omega }_0$ 时最大，与速度共振对应
• 弱阻尼时，位移共振频率 ${\omega }_r\approx {\omega }_0$，振幅最大与吸收功率最大近似发生在同一频率

若 $\delta \ge {\omega }_0/\sqrt{2}$，则不存在非零频率处的位移共振峰。