2-波动

卡片 1：波的基本参数

问题：波长、波速、波数、周期和频率分别表示什么？它们之间有什么关系？

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对简谐行波：

物理量	含义	关系
波长 $\lambda$	沿传播方向，相位相差 $2\pi$ 的两点间距	$\lambda =vT=v/f$
周期 $T$	固定位置振动一次所需的时间	$T=1/f=2\pi /\omega$
频率 $f$	固定位置单位时间内的振动次数	$f=1/T=\omega /(2\pi )$
角频率 $\omega$	相位随时间变化的速率	$\omega =2\pi f$
波数 $k$	沿传播方向单位长度内的相位变化量的大小	$k=2\pi /\lambda$
波速 $v$	等相位点的传播速度大小	$v=\lambda f=\omega /k$

关联笔记：波的基本参数

卡片 2：平面简谐波与波动方程

问题：平面简谐波的 $u(x,t)$ 方程如何表示？波动方程如何推导？为什么支持波的叠加？

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设原点振动为 $u(0,t)=A\cos (\omega t+{\phi }_0)$，$u$ 为质点位移，$A$ 为振幅，${\phi }_0$ 为原点初相。波以速度 $v$ 向 $+x$ 传播，$x$ 处滞后 $x/v$：

$$u(x,t)=A\cos \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)+{\phi }_0\right]=A\cos (\omega t-kx+{\phi }_0),k=\frac{\omega }{v}$$

向 $-x$ 传播时，$-kx$ 改为 $+kx$。

分别对时间、空间求二阶偏导：

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=-{\omega }^{2}u,\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=-k^{2}u$$

消去共同因子，得到均匀介质中的一维波动方程：

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$

叠加原理的基础是方程的线性：同一线性波动方程的解 $u_1,u_2$ 可叠加为 $a{u}_1+b{u}_2$，$a,b$ 为常数

关联笔记：平面简谐波；波动方程

卡片 3：弦上横波的波速

问题：弦上横波的波速表达式是什么？如何推导？

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取长度为 $dx$、质量为 $\mu dx$ 的弦元。两端张力的横向分量之差为

$$d{F}_y\approx T\left[\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{x+dx}-\frac{\partial u}{\partial x}{|}_x\right]=T\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}dx$$

由牛顿第二定律：

$$\mu dx\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}dx$$

与标准波动方程比较：

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\frac{T}{\mu }\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\Rightarrow v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$$

张力越大，波速越大；线密度越大，波速越小。

关联笔记：弦上的横波

卡片 4：体元的动能与势能

问题：简谐波体元的动能与势能有什么关系？如何推导？

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对均匀细棒中的小振幅、线性、单向简谐纵波：

$$u=A\cos \theta ,\theta =\omega t-kx+{\phi }_0$$

$\theta$ 为相位，$\rho$ 为体密度，$E$ 为杨氏模量。体积为 $dV$ 的体元，其动能为

$$d{E}_k=\frac{1}{2}\rho dV{\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)}^2=\frac{1}{2}\rho dV{A}^2{\omega }^2{\sin }^2\theta$$

纵向应变 $\epsilon =\partial u/\partial x$，弹性势能为

$$d{E}_p=\frac{1}{2}E{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^{2}dV=\frac{1}{2}EdV{A}^2{k}^2{\sin }^2\theta$$

波速满足 $v=\sqrt{E/\rho }=\omega /k$，故 $E{k}^2=\rho {\omega }^2$，从而

$$d{E}_k=d{E}_p=\frac{1}{2}\rho dV{A}^2{\omega }^2{\sin }^2\theta$$

两者相等且同步变化，体元能量随波传递。

注意：该结论只针对单向行波，不适用一般叠加波场。

关联笔记：体元的能量

卡片 5：平均能量密度与波强度

问题：简谐波的平均能量密度 $\bar{w}$ 和波强度 $\bar{I}$ 如何计算？（提示：能流密度 $I$ 为单位时间内通过单位面积的能量）

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对均匀细棒中沿 $+x$ 传播的小振幅单向简谐纵波，记相位 $\theta =\omega t-kx+{\phi }_0$，由动能与势能相加：

$$w=\frac{d{E}_k+d{E}_p}{dV}=\rho A^2{\omega }^2{\sin }^2\theta$$

对一个周期取平均：

$$\bar{w}=\frac{1}{2}\rho A^2{\omega }^2$$

瞬时能流密度是单位时间通过垂直于传播方向的单位面积的能量，对上述行波有 $I=wv$
波强度是瞬时能流密度的周期平均值，单位为 $W/{\mathrm{m}}^2$：

$$\bar{I}=v\bar{w}=\frac{1}{2}\rho v{A}^2{\omega }^2$$

在介质相同的条件下，$\bar{I}\propto A^2{\omega }^2$。对无吸收、均匀介质中的各向同性球面波，若总平均功率 $P$ 不变，则

$$P=4\pi r^2\bar{I}\Rightarrow \bar{I}\propto \frac{1}{r^2},A\propto \frac{1}{r}$$

$r$ 为距波源的距离，比较振幅时保持频率不变。

关联笔记：能量密度与波的强度

卡片 6：驻波

问题：驻波的形成条件是什么？波节、波腹是什么？驻波方程如何求得？

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形成条件：同一直线上两列简谐波，频率、波长、振幅和振动方向相同，传播方向相反，相位差恒定。

取 $u_1=A\cos (\omega t-kx)$、$u_2=A\cos (\omega t+kx)$，由积化和差：

$$u=u_1+u_2=2A\cos (kx)\cos (\omega t)$$

$k=2\pi /\lambda$，各点振幅为 $2A|\cos (kx)|$。

位置	振动特点	条件	坐标，$n\in \mathbb{Z}$
波腹	振幅最大，为 $2A$	$\cos (kx)=\pm 1$	$x=n\lambda /2$
波节	振幅为零，始终不动	$\cos (kx)=0$	$x=(2n+1)\lambda /4$

• 相邻波节、相邻波腹的间距均为 $\lambda /2$；相邻波节与波腹间距为 $\lambda /4$。
• 同一对相邻波节之间的质点同相；相邻两段相位相差 $\pi$。
• 波节与波腹位置固定。若两列波的初相不同，会平移这些位置，但不改变相邻间距。

关联笔记：驻波

卡片 7：驻波的边界条件与频率

问题：一端固定的弦、两端固定的弦，其驻波波长条件分别是什么？简正频率和基频是什么？

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对长度为 $L$、波速为 $v$ 的均匀理想弦，固定端为波节，自由端为波腹。满足两端边界条件的驻波，才是允许的简正模式。

一端固定、一端自由：两端相隔奇数个四分之一波长：

$$L=\frac{(2n-1){\lambda }_n}{4},n=1,2,3,\dots$$ $${\lambda }_n=\frac{4L}{2n-1},f_n=\frac{v}{{\lambda }_n}=(2n-1)\frac{v}{4L}=(2n-1)f_1$$

基频 $f_1=v/(4L)$，允许频率为基频的奇数倍。只说明一端固定、不规定另一端，不能唯一确定允许波长。

两端固定：两端都是波节，弦长为半波长的整数倍：

$$L=\frac{n{\lambda }_n}{2}\Rightarrow {\lambda }_n=\frac{2L}{n},f_n=n\frac{v}{2L}=n{f}_1$$

简正频率是各简正模式允许的振动频率；基频为最低的简正频率。两端固定时，基频 $f_1=v/(2L)$，第 $n$ 阶模式有 $n$ 个波腹。

关联笔记：一端固定、一端自由；两端固定

卡片 8：驻波中的能量

问题：驻波中的能量如何分析？动能、势能的极值分别出现在哪里？

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对弦上驻波 $u=2A\cos (kx)\cos (\omega t)$，弦张力为 $T$，线密度为 $\mu$，且 $T{k}^2=\mu {\omega }^2$。位移变化率与弦斜率分别为

$$\frac{\partial u}{\partial t}=-2A\omega \cos (kx)\sin (\omega t),\frac{\partial u}{\partial x}=-2Ak\sin (kx)\cos (\omega t)$$

单位长度的动能与势能为

$$\frac{d{E}_k}{dx}=\frac{1}{2}\mu {\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)}^2=2\mu A^2{\omega }^2{\cos }^2(kx){\sin }^2(\omega t)$$ $$\frac{d{E}_p}{dx}=\frac{1}{2}T{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2=2\mu A^2{\omega }^2{\sin }^2(kx){\cos }^2(\omega t)$$

位置	动能密度	势能密度
波腹	空间因子最大	为零，局部斜率为零
波节	为零，质点不动	空间因子最大

势能取决于形变，不取决于质点位移本身。 因此波节位移为零，仍可有弹性势能。

两种能量的时间因子分别为 ${\sin }^2(\omega t)$ 与 ${\cos }^2(\omega t)$，交替变化；同一弦元的两者一般不相等。理想、无耗散边界下，整段弦的总能量守恒。

沿 $+x$ 取正，瞬时能流为 $P=-T({\partial }_{x}u)({\partial }_{t}u)$，可以在局部往返传递；任一截面的周期平均能流为

$$\bar{P}=0$$

平均能流为零不代表瞬时能流处处为零。

关联笔记：驻波中的能量

卡片 9：波的反射

问题：波的反射如何分析？（提示：半波损失；透射波）

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先明确波的类型、所讨论的物理量和边界条件。 以下讨论理想弦上横波的位移，界面静止。

边界	反射波位移相对入射波的变化	边界条件
固定端	反相，相位差 $\pi$，有半波损失	端点总位移为零
理想自由端	同相，无半波损失	端点横向力为零，即总位移斜率为零
同张力弦：轻弦到重弦	反相，有半波损失	位移与横向力连续
同张力弦：重弦到轻弦	同相，无半波损失	位移与横向力连续

半波损失是相位突变 $\pi$，等价于半个波长的相位差，不是波长变成一半。表中的轻、重指线密度小、大；不能把仅凭波速或密度的判断直接推广到所有机械波物理量。

固定端反射波的写法：入射波为 $u_i=A\cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$，固定端在 $x=x_0$，则

$$u_r=A\cos \left[\omega t+k(x-2x_0)+{\phi }_0+\pi \right]$$

在 $x_0$ 处，$u_i+u_r=0$；$+\pi$ 与 $-\pi$ 等价。理想自由端则去掉附加的 $\pi$。

透射波：在两段弦的理想连接处，设入射、反射、透射位移分别为 $u_i,u_r,u_t$：

$$u_i+u_r=u_t$$

还需满足横向力连续。该模型下透射位移与界面处入射位移同相，不发生半波损失；振幅由边界条件决定。

静止界面两侧的频率相同。反射波留在原介质，波速大小、波长不变；透射波进入新介质，波速变为 $v_2$，波长变为 ${\lambda }_2=v_2/f$。

关联笔记：波的反射

卡片 10：波的干涉

问题：如何分析两列波的干涉？（提示：相位差）

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相干条件：频率相同、振动方向相同、初相差恒定。两列波不必振幅相等。

在同一均匀介质中，设两波源初相为 ${\phi }_1,{\phi }_2$，观察点到两源的距离为 $r_1,r_2$，两波在该点的振幅为 $A_1,A_2$：

$$u_j=A_j\cos (\omega t-k{r}_j+{\phi }_j),j=1,2$$

取“第二列减第一列”，得到

$$\Delta \phi =({\phi }_2-{\phi }_1)-k(r_2-r_1)=({\phi }_2-{\phi }_1)-\frac{2\pi }{\lambda }(r_2-r_1)$$

若传播中发生反射，还需计入反射引起的附加相位差。

合振幅为

$$A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \Delta \phi$$

干涉结果	相位差，$n\in \mathbb{Z}$	合振幅
加强	$\Delta \phi =2n\pi$	$A=A_1+A_2$
减弱	$\Delta \phi =(2n+1)\pi$	$A=

减弱时只有 $A_1=A_2$ 才完全相消。若两源同相且无附加相位差，波程差为整数倍波长时加强，半奇数倍波长时减弱。

关联笔记：波的干涉

卡片 11：多普勒效应

问题：多普勒效应中，波源、观察者和介质运动分别产生怎样的频率放缩效应？观察者观测到的波长、波速又怎样变化？

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先取介质静止系，讨论同一直线上的机械波，波源与观察者相对介质的速率均小于波速。$v$ 为波相对介质的速度大小，$f_0$ 为波源频率，$T_0=1/f_0$，${\lambda }_0=v/f_0$。

情况	波长 $\lambda$	波相对观察者的传播速度大小	接收频率 $f$
波源以 $v_s$ 向静止观察者运动	$(v-v_s)/f_0$，缩短	$v$	$\frac{v}{v-v_s}{f}_0$
观察者以 $v_o$ 向静止波源运动	$v/f_0$，不变	$v+v_o$，增大	$\frac{v+v_o}{v}{f}_0$

波源运动改变波长：一个发射周期内，前一波峰前进 $v{T}_0$，波源向前移动 $v_s{T}_0$，故

$$\lambda =(v-v_s)T_0$$

观察者运动改变遇到波峰的速率：波长不因观察者运动而改变，接收频率等于相对传播速度除以波长。

两者同时运动时，规定 $v_s$、$v_o$ 分别以向对方运动为正、远离为负，则

$$\lambda =\frac{v-v_s}{f_0},f=\frac{v+v_o}{\lambda }=\frac{v+v_o}{v-v_s}{f}_0$$

因而接近通常升频，远离通常降频；不能只用源与观察者的相对速度代替它们各自相对介质的速度。

介质运动：改用地面系，并统一正方向。 取波沿 $+x$ 传播，均匀介质速度为 $w$，波源、观察者的地面速度分别为 $U_s,U_o$，均以 $+x$ 为正。波的地面速度为 $v+w$，因此

$$\lambda =\frac{v+w-U_s}{f_0},f=\frac{v+w-U_o}{v+w-U_s}{f}_0$$

此处沿用通常的亚声速情形，且所讨论的波峰能沿 $+x$ 追上观察者。$U_s,U_o$ 与前面的“向对方为正”不是同一符号约定。

例：波源与观察者均固定在地面，只有均匀介质流动：$U_s=U_o=0$，于是

$$f=f_0,\lambda =\frac{v+w}{f_0}$$

此时波的地面速度和波长一起变化，接收频率不变。反向传播时必须相应改变传播方向的符号。

关联笔记：多普勒效应